Miejscowość Łąkie odmienia się tak jak przymiotnik. Poprawne formy to zatem: Łąkiego, Łąkiemu, Łąkiem. Szczegółowe informacje o tym, gdzie można sprawdzić wzór odmiany nazw miejscowych, zawarte są w tej poradzie.
Przy okazji zwracam uwagę, że nazwy regionów piszemy wielką literą, właściwy zapis to Wielkopolska.
Katarzyna Burska