Zwrot wszcząć proces sądowy jest poprawny. Czasownik wszcząć/wszczynać ma charakter książkowy, występuje przede wszystkim w oficjalnych odmianach języka, między innymi w słownictwie prawniczym, w którym spotykamy też zwroty: wszcząć dochodzenie, śledztwo, spór itp.
Izabela Różycka